長期以來，一些科學(xué)家們心中一直有一個執(zhí)念，即堅信宇宙的本質(zhì)是簡潔的。
這背后其實有一個“萬有理論”，它可以囊括四種宇宙基本力，用單獨一種物理理論解釋所有的物理現(xiàn)象。而宇宙中的萬事萬物，不過是這種理論的衍生和演化。
然而經(jīng)過幾個世紀(jì)科學(xué)家們的不懈努力，這一“萬有理論”目前仍是猜想。比如說，量子力學(xué)可以很好的解釋微觀世界，而愛因斯坦的廣義相對論則能精確的展示宏觀世界。但目前這兩種理論無法統(tǒng)一在一起。
但這個終極僵局現(xiàn)在有了新的解題思路。最近，一項由一位女性科學(xué)家孤軍奮戰(zhàn)約 10 年的研究，讓我們看到了“萬有理論”的可能。這位女性科學(xué)家就是來自劍橋大學(xué)的數(shù)學(xué)物理學(xué)家科爾·福瑞（Cohl Furey）。
其實，數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家?guī)资昵熬筒孪?，組成物質(zhì)世界的力和粒子的規(guī)律可以用 8 元數(shù)來描述，但是一直未能證明這一點。直到這一次，科爾·福瑞發(fā)現(xiàn)了粒子物理學(xué)標(biāo)準(zhǔn)模型和 8 元數(shù)之間的關(guān)系。
福瑞于今年 5 月發(fā)表在《歐洲物理學(xué)C刊》上的最新論文中，她的數(shù)學(xué)模型正確地構(gòu)建了電子、中子、3 個上夸克、3 個下夸克及對應(yīng)反粒子的電荷及其他特性。該模型證明了幾十年來數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家對 8 元數(shù)和宇宙構(gòu)成物質(zhì)的基本粒子之間關(guān)系的猜想，可為未來宇宙“萬有理論”的研究提供思路。
8 元數(shù)：一種不可抑制的誘惑
在了解為什么 8 元數(shù)與宇宙終極理論有著千絲萬縷的聯(lián)系之前，我們先簡單了解下它的“前世今生”。
1898 年，數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明，各種各樣的數(shù)中，只有實數(shù)、復(fù)數(shù)、4 元數(shù)和 8 元數(shù)能定義加、減、乘、除運算，因此被稱為可除代數(shù)。
其中，人類最熟悉的數(shù)字是實數(shù)。實數(shù)是有理數(shù)和無理數(shù)的總稱，而實數(shù)通過一定的法則可以組成復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)由一個實數(shù)和一個虛數(shù)兩部分構(gòu)成。16 世紀(jì)的意大利數(shù)學(xué)家首先研究了復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)的加減乘除都可以視為二維平面上的變換和旋轉(zhuǎn)。
復(fù)數(shù)通過一定的法則可以構(gòu)建 4 元數(shù)。類似于復(fù)數(shù)，四元數(shù)是由實數(shù)加上三個元素 i 、j 、k 組成，且 i2 = j2 = k2 = ijk = -1。1843 年，愛爾蘭數(shù)學(xué)家威廉·羅曼·漢密爾頓（William Rowan Hamilton）第一次發(fā)現(xiàn)了 4 元數(shù)，在狂喜中，他將 1 個 4 元數(shù)刻在了都柏林的一座橋上。
而漢密爾頓的朋友、律師約翰·格雷福斯（John Graves），則證明了 2 組 4 元數(shù)可以構(gòu)成 8 元數(shù)，8 元數(shù)必須基于抽象的 8 維空間才能表示。八元數(shù)可視為實數(shù)的八元組。每一個八元數(shù)多事單位八元數(shù) {1，i，j，k，l，il，jl，kl} 的線性組合。
簡而言之，實數(shù)、復(fù)數(shù)、4 元數(shù)這 3 類數(shù)奠定了 20 世紀(jì)物理學(xué)的基礎(chǔ)。實數(shù)自不用說，復(fù)數(shù)是量子力學(xué)的核心，而 4 元數(shù)是相對論的核心。但是，8 元數(shù)隱藏著宇宙的什么規(guī)律呢？
佛羅里達大學(xué)粒子物理學(xué)家和弦論專家皮埃爾·拉蒙德（Pierre Ramond）曾表示，8 元數(shù)對于物理學(xué)家是不可抑制的誘惑。
從標(biāo)準(zhǔn)模型到 8 元數(shù)
在粒子物理學(xué)中，基本粒子是組成物質(zhì)最基本的單位。標(biāo)準(zhǔn)模型中涵蓋了 61 種這樣的基本粒子，并通過一系列數(shù)學(xué)模型模擬了這些基本粒子之間的相互作用。但目前，這一標(biāo)準(zhǔn)模型還無法解釋全部粒子之間的相互作用，模型中對于引力的預(yù)測與現(xiàn)實并不相符。換句話說，實驗中觀測到的基本粒子間一些奇特的性質(zhì)，還無法通過模型進行模擬。
面對這個問題，在福瑞的導(dǎo)師讀研究生的年代來說，科學(xué)家主要有兩種想法。其中大多數(shù)的物理學(xué)家認(rèn)為，這些無法解釋的粒子性質(zhì)可能是由于人們還未發(fā)現(xiàn)全部的基本粒子導(dǎo)致的。因此他們選擇用對撞機積累更多的實驗數(shù)據(jù)，并希望實驗中出現(xiàn)更多的新粒子以讓標(biāo)準(zhǔn)模型更具有預(yù)測力。
而另一些科學(xué)家則認(rèn)為，或許是對粒子間相互作用的模擬出了問題，因而他們轉(zhuǎn)向?qū)で笥眯碌臄?shù)學(xué)模型對這些粒子的相互作用進行模擬。1973 年，福瑞的導(dǎo)師賓夕法尼亞州立大學(xué)教授 Günaydin 與其導(dǎo)師 Feza Gürsey 曾發(fā)現(xiàn)，8 元數(shù)和把夸克（基本粒子的一種）約束在原子核內(nèi)的強表面之間存在聯(lián)系。雖然這一發(fā)現(xiàn)并沒有引起什么的響應(yīng)。
而幾十年后，沒有發(fā)現(xiàn)一種不屬于標(biāo)準(zhǔn)模型的新粒子。而另一些科學(xué)家直覺相信，8 元數(shù)的奇特性質(zhì)與古怪的標(biāo)準(zhǔn)模型之間不僅僅是巧合。
8元數(shù)真的能顛覆物理界嗎？
8 元數(shù)的神秘美感繼續(xù)吸引著那些特立獨行的研究者，包括我們今天文章的主人公福瑞。
在此之前，也就是 2014 年，還是加拿大滑鐵盧大學(xué)研究生的福瑞，開著租來的汽車一路向南，用 6 小時到達賓夕法尼亞州立大學(xué)，拜會物理學(xué)教授 Murat Günaydin。福瑞拓展了 Günaydin 教授在 40 年前所做卻沒有獲得多大反響的成果，發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)和基本物理之間的新聯(lián)系。
現(xiàn)在距離她拜訪賓夕法尼亞大學(xué)已有 4 年。她還記得當(dāng)年的場景：她努力嘗試著向 Günaydin 教授解釋自己基于 8 元數(shù)構(gòu)建的一個強力和弱力模型，溝通的難度超過了她的想象。
這些研究都不是物理學(xué)研究的主流。Günaydin 建議福瑞找個其他的方向作為自己的博士研究方向，因為他根據(jù)自己的經(jīng)驗，認(rèn)為 8 元數(shù)是一個太過困難的問題。
但是福瑞決心已定，她相信自己對于 8 元數(shù)的直覺。當(dāng)時她告訴一位同事，如果自己的研究毫無結(jié)果，導(dǎo)致不能找到穩(wěn)定的研究職位，那么她就帶著自己的手風(fēng)琴去新奧爾良街頭賣藝，掙錢支持自己的物理研究。
不過，福瑞還是在劍橋大學(xué)找到了一個博士后職位。此后幾年，她發(fā)表了一系列關(guān)于 8 元數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)模型之間關(guān)系的研究，獲得學(xué)術(shù)界高度重視。
羅格斯大學(xué)數(shù)學(xué)物理學(xué)家 Shadi Tahvildar-Zadeh 拜訪福瑞之后表示，這些研究將該領(lǐng)域的知識邊界推進了一大步。
當(dāng)然，福瑞尚未對標(biāo)準(zhǔn)模型中的所有粒子和力構(gòu)建出對應(yīng)的 8 元數(shù)模型，此外，她也尚未嘗試將引力包括進來。這是她模型目前還存在的最大問題。她強調(diào)，可能的思路太多，有些專家認(rèn)為目前不足以判定什么思路更有成功希望。
倫敦帝國學(xué)院教授，弦論專家米切爾·杜夫（Michael Duff,）認(rèn)為，福瑞做出了一些非常有趣的成果，這個方向值得繼續(xù)發(fā)掘。當(dāng)然，現(xiàn)在還不能確定，8 元數(shù)就是描述標(biāo)準(zhǔn)模型的最佳工具。
不過，如果 8 元數(shù)真的是這種最佳工具，這就意味著物理學(xué)領(lǐng)域的一場革命。
8元數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)模型，天生絕配？
今年 39 歲的福瑞還記得，自己在高中時期的一次經(jīng)歷讓自己對物理產(chǎn)生了最初的熱愛。在不列顛哥倫比亞省，她的老師講到，整個世界的背后只有 4 種力。物理學(xué)家 1970 年以來就致力于將這四種力統(tǒng)一在 1 個理論框架下。
幾年后，當(dāng)她在溫哥華西蒙弗雷澤大學(xué)讀本科的時候?qū)W到 4 種可除代數(shù)，再一次感受到了這種無比的優(yōu)美和神秘?！盀槭裁床皇侵挥?1 種可除代數(shù)，也不是有無窮多種可除代數(shù)，而是只有 4 種可除代數(shù)？這是多么神奇的一件事情?！?/p>
為什么都得是 4 ？福瑞覺得，這是自己遇到的最優(yōu)美的事情。
福瑞后來又在一門高級幾何課程上學(xué)到了可除代數(shù)?？沙鷶?shù)之前的關(guān)系很奇妙：實數(shù)維度乘 2，獲得復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)維度乘 2，獲得 4 元數(shù)；4 元數(shù)維度乘 2，獲得 8 元數(shù)。每一次擴充，新數(shù)就會比前一種數(shù)減少一種特性。比如，實數(shù)可以從小到大排序，但是復(fù)數(shù)不行。此外，4 元數(shù)的乘法沒有可交換性，即 a×b 不等于 b×a。當(dāng)然，在解析幾何中這個現(xiàn)象并不神秘：高維數(shù)字相乘需要借助旋轉(zhuǎn)操作，而如果改變旋轉(zhuǎn)操作的次序，結(jié)果自然發(fā)生變化。
更奇怪的是，8 元數(shù)的乘法不服從結(jié)合律，即（a×b）×c 不等于 a×（b×c）。加州大學(xué)數(shù)學(xué)物理學(xué)家和 8 元數(shù)專家約翰·貝茲（John Baez）表示，8 元數(shù)不服從結(jié)合律的特性令數(shù)學(xué)家非常惱火，因為 4 元數(shù)的乘法可交換性比較容易描述，而 8 元數(shù)乘法的特性非常難以描述。
8 元數(shù)乘法的不可結(jié)合性成為物理學(xué)家利用 8 元數(shù)的巨大障礙，但是這種特性另一方面也是 8 元數(shù)的獨特魅力，因為標(biāo)準(zhǔn)模型本身也非常奇異，因此有物理學(xué)家認(rèn)為，只有 8 元數(shù)才能描述這種奇異性。
標(biāo)準(zhǔn)模型中，基本粒子被分成 3 個對稱組 SU（3），SU（2）和 U（1），分別對應(yīng)于強相互作用，弱相互作用和電磁相互作用，對稱組內(nèi)的互換不會影響方程的形式。3 個對稱組基于 6 種夸克，2 種輕子，以及以上粒子的反粒子。每種粒子還有 3 代。目前，第四種基本力——重力，被愛因斯坦廣義相對論方程單獨描述，尚不能被納入標(biāo)準(zhǔn)模型中，它描述了時間和空間的幾何關(guān)系。
一些粒子在標(biāo)準(zhǔn)模型中具有對稱性。但是問題在于，為什么方程是 SU(3) × SU(2) × U(1) 的形式？特定粒子的數(shù)學(xué)描述如何將電荷、手性和“3 代”冗余的特性結(jié)合？
傳統(tǒng)觀點認(rèn)為，標(biāo)準(zhǔn)模型是一個更完備的理論模型的一部分，因此其不完備性才導(dǎo)致了這些奇怪特性。然而，一些物理學(xué)家認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)模型本身就是完備的，因此他們決心用 8 元數(shù)來描述標(biāo)準(zhǔn)方程，揭開其隱藏的秘密。
福瑞讀研究生時知道，4 元數(shù)描述了粒子在 4 維時間-空間中的變換和旋轉(zhuǎn)，自此開始致力于 8 元數(shù)的研究。她認(rèn)為，8 元數(shù)的 8 個自由度正好對應(yīng)于一代粒子：1 個中微子，1 個電子，3 個上夸克和 3 個下夸克。如果這不是巧合，這一研究很可能揭開更大的宇宙奧秘。
當(dāng)然，目前離最終答案還差得很遠。
此生唯愿追隨真理的直覺
8 元數(shù)和所有奇異對稱組之間的關(guān)系讓很多數(shù)學(xué)家，包括菲爾茲獎和阿貝爾獎獲得者米切爾·阿提亞（Michael Atiyah）認(rèn)為，自然的終極規(guī)律隱藏在 8 元數(shù)中。
阿提亞在 2010 年宣稱，甚至長期無法被納入統(tǒng)一框架的引力，也很可能是 8 元數(shù)和奇異組互動作用的結(jié)果。
為了重建粒子物理的理論體系，福瑞的模型從狄克森代數(shù)中獲得啟發(fā)。她構(gòu)建了 4 種可除代數(shù)的乘積：????????，其中 ? 代表實數(shù)，?代表復(fù)數(shù)，? 代表 4 元數(shù)，?? 代表 8 元數(shù)。這種乘積也被稱為狄克森代數(shù)，于 1970 年代由物理學(xué)家杰弗里·狄克森提出，不過不久之后他就因為沒能拿到終身教職而離開學(xué)術(shù)界。
狄克森在回憶錄中寫到，“我當(dāng)時被一個來自直覺的點子擊中：這些代數(shù)是理解粒子物理的關(guān)鍵，我愿意追隨這種直覺，哪怕下地獄?！?/p>
當(dāng)時，狄克森和其他人的思路是將可除代數(shù)與其他數(shù)學(xué)工具融合。然而，福瑞不這么做，她的工具僅限于可除代數(shù)。????????提供了一個 64 維抽象空間。在這個空間中，1 個子空間的粒子被其他粒子相乘，發(fā)生位移，旋轉(zhuǎn)，變換之后，仍然在之前的子空間內(nèi)，這就是????????的對稱性。
狄克森知道，???????? 分為 2 個部分：???和????。在福瑞的模型中，對稱性與粒子在時間-空間中的運動和旋轉(zhuǎn)有關(guān)。SU(3) × SU(2) × U(1) 對稱組之所以能反應(yīng)粒子的內(nèi)在特性，以及粒子與強力、弱力和電磁力交互的特性，關(guān)鍵在于????。
此外，福瑞也從Günaydin 和 Gürsey 的早期工作中尋找靈感。
Günaydin 和 Gürsey 曾發(fā)現(xiàn)了 SU(3) 和 8 元數(shù)的關(guān)系。1, e1, e2, e3, e4, e5, e6 和 e7 是一組 8 元坐標(biāo)。他們構(gòu)建了一個叫做 G2 的奇異對稱組，該對稱組無法在數(shù)學(xué)上被納入其他對稱組中。
讓 e7 不變，改變其他維度，就會讓 8 元數(shù)相對于 SU（3）對稱組的對稱性降低。Günaydin 和 Gürsey 基于這個事實，建立了強力與“1 代”夸克之間的 8 元數(shù)模型。
在福瑞發(fā)表在《歐洲物理學(xué) C 刊》上的最新論文中，她構(gòu)建了 SU(3) × SU(2) × U(1) 與 1 代粒子之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，以及電子、中微子、3 種上夸克、3 種下夸克以及對應(yīng)反粒子之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。這些數(shù)學(xué)模型還能夠解釋，為什么一個粒子的電荷只能是某個最小單位的整數(shù)倍。
然而，如何將該模型擴展到自然界中的全部 3 代粒子，仍然是個問題。
不過，根據(jù)一篇預(yù)期發(fā)表于《物理快報 B》上的論文，福瑞基于????構(gòu)建了標(biāo)準(zhǔn)模型的另外 2 個對稱組：SU(3) 和 U(1)。在這個模型中，3 代粒子全部體現(xiàn)出對稱性，且這個模型允許惰性中微子的存在，這是一種物理學(xué)家積極尋找的，被認(rèn)為是暗物質(zhì)組成部分的粒子。當(dāng)然，由于 3 代模型只描述了 SU(3) 和 U(1)，因此還不是最終答案。不過福瑞相信，她可以沿著當(dāng)前思路，構(gòu)建出真正意義上的完整模型。
除了福瑞，3 名數(shù)學(xué)物理學(xué)家米切爾·杜博斯-維勒特（Michel Dubois-Violette），一萬·托德洛夫（Ivan Todorov）和斯維爾塔·頓思卡（Svetla Drenska）也在利用基于 8 元數(shù)的約當(dāng)代數(shù)構(gòu)建模型。
這樣，在多年的孤軍奮戰(zhàn)之后，福瑞終于有了同道。
可她仍然固守最基本的????????框架。她認(rèn)為其足夠復(fù)雜，提供的自由度足夠多。福瑞的目標(biāo)是構(gòu)建出能容納質(zhì)量、希格斯機制（一種生成質(zhì)量的機制，能夠使基本粒子獲得質(zhì)量）、引力和時間-空間的大一統(tǒng)模型。
福瑞已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，????????框架中，所有乘法鏈都可以用 10 個被稱為“發(fā)生器”的矩陣產(chǎn)生。其中 9 個“發(fā)生器”的特性很像空間維度，而第 10 個“發(fā)生器”的特性很像時間，這跟弦理論預(yù)測的 10 維時空不謀而合。但是，福瑞的模型跟弦理論之間的關(guān)系仍然尚不清楚。
弦理論用“能量弦線”作為基本單位，該理論認(rèn)為，宇宙里所有微觀粒子都由弦的不同震動產(chǎn)生。弦理論本要求時空是 26 維的，但后來發(fā)現(xiàn)加上超對稱的話，時空是 10 維的。但目前，弦理論還未獲得實驗驗證。
手風(fēng)琴和 8 元數(shù)
福瑞不怎么關(guān)心物理和數(shù)學(xué)關(guān)系的哲學(xué)層面，但是她確實好奇一點：為什么可除性是關(guān)鍵？此外，她還有種預(yù)感，????????不過是終極理論的一種近似。
鑒于很長時間以來，實驗物理學(xué)家都沒有在對撞機中找到標(biāo)準(zhǔn)模型沒有描述的新粒子，而且標(biāo)準(zhǔn)模型的預(yù)測跟實際結(jié)果高度吻合，一些物理學(xué)家認(rèn)為現(xiàn)在該是在理論上下功夫的時候了。圓周理論物理研究所的物理學(xué)家博易認(rèn)為，從理論上取得突破的可能性很大，值得獲得更多關(guān)注，福瑞的工作非常值得欽佩。
博易還表示，他同樣感知到了 8 元數(shù)的魅力召喚?！拔矣蓄A(yù)感，8 元數(shù)的加入會讓基礎(chǔ)物理變得更加優(yōu)美?！?/p>
從經(jīng)歷坎坷、被其他人“勸退”、孤軍奮戰(zhàn)到研究被接受并找到研究伙伴，十年來福瑞始終堅持自己對 8 元數(shù)的直覺。無論真正的“終極理論”是否與福瑞預(yù)期一致，這份為尋求真理的堅守，照亮了未來福瑞前進的道路，也在感染同樣為尋求真理奮不顧身的人們。
目前，福瑞還在找穩(wěn)定的學(xué)術(shù)界職位，不過她貌似對此并不太擔(dān)心：“我最擅長的樂器是手風(fēng)琴，這種樂器在音樂界的地位就跟 8 元數(shù)在物理學(xué)中的地位一樣，非常邊緣化。不過我就算我靠手風(fēng)琴街頭賣藝養(yǎng)活自己，我也會繼續(xù)堅持研究 8 元數(shù)。”
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